Funciones

Función identidad

Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de se denomina función identidad o función unitaria.
Dada cualquier función , es claro que es igual a y que es también igual a , puesto que para todo y también


Función inversa

Dada una función , se denomina función inversa de , a la función que cumple la siguiente condición:
Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Funciones en Rn según su número de variables

Siempre es posible restringir tanto el dominio como la imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, es completamente válido restringir al dominio de los números naturales, para que el conjunto imagen tome así los valores comprendidos en el intervalo [0,+∞[.
Además, el dominio y la imagen pueden tener cualquier número de variables. Dicho número permite clasificar a las funciones como sigue:

Función escalar: Función del tipo
Campo escalar: Función del tipo
Función vectorial: Función del tipo
Campo vectorial: Función del tipo

Funciones reales de variable real

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas o entre conjuntos de números ().

Funciones reales y funciones discretas

Artículo principal: Función real
Artículo principal: Función discreta
Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=x tiene por conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: donde es el período.
En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.


Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.
La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.